数轴是一条直线对吗（数轴是一根连续的直线吗）

在我们眼里，数轴是一根再普通不过的横线，这根横线是连续的。

但真是这样吗？

数轴是由点构成的，每一个点对应一个数字。那我们仔细想一下，数字和数字无缝隙地连在一起意味着什么呢？我们肯定说不清。

这里只考虑有理数的情形。

我们知道，有理数都可以用m/n来表示，那么，两个不同的有理数之间就必然存在差值，也就是间隙，无论这个间隙多小，它一定存在。

那么，基于上述分析，数轴就不是连续的，而是点与点之间有间隔的：

图1

虽然这个间隔可以任意小，但间隔终归存在。

正是基于上述思想，数学家们定义了无穷小的概念：

无穷小比0大，但又比任何一个数字都小。

图1中的间隔不管多小，因为每个点都对应一个确定的数字，所以两个邻近点的间隔也是一个确定的数字。那么，按照无穷小的定义，它比数轴上任意两个点之间的间隔都要小，因此，无穷小可以放置在数轴上任意两个相邻的点之间：

导数也正是基于这样的思想定义的：

上图中，把一个无穷小线段Δx放置在任意一个与切点a相邻的点b之间，由于Δx是无穷小，我们可以认为Δx同时处于曲线n与切线m上面，从而可以精确到求出点a的导数，也就是斜率。

简单来说：

1：数学上的数轴其实不是一根连续的直线，而是由一个个分开的点构成的；

2：真是基于数轴上的点有间隔这一事实，数学家定义了无穷小的概念；

3：无穷小可以放置在数轴上任意两个相邻的点之间；

4：由无穷小进一步定义了导数、积分等概念。